2025國際兒童及青少年數學思維大賽 -冬季賽題目範圍

本次大賽全面覆蓋數學思維核心領域，從基礎知識到實踐應用，旨在考察參賽者的數學探究能力、邏輯思維與創新應用能力，具體內容如下：

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一、數學思維基礎知識

（一）數學科學核心領域

基礎數學原理

1. 算術與代數基礎：掌握整數、分數、小數的基本運算規則（加減乘除、四則混合運算），理解代數式的意義與簡單變形。例如，分析「校園文具採購」中的價格計算（如 3 本筆記本每本 8.5 元，2 支鋼筆每支 12 元，總費用的計算過程），或解釋「路程 = 速度 × 時間」公式在「放學回家路線規劃」中的應用（如步行速度每分鐘 60 米，家到學校距離 900 米，所需時間計算）。

2. 幾何與圖形認知：理解平面圖形（三角形、四邊形、圓形）與立體圖形（正方體、長方體、圓柱體）的基本性質，熟悉圖形的周長、面積、體積計算方法。如用長方形面積公式解釋「課桌桌面鋪設防護墊」的尺寸選擇（桌面長 120 厘米、寬 60 厘米，防護墊面積需至少 7200 平方厘米），或通過正方體展開圖分析「包裝禮物盒」的紙張裁剪邏輯。

3. 統計與概率基礎：掌握數據收集、整理與分析的基本方法（如調查、分類、繪製簡單統計圖），理解概率的初步含義。如對「班級同學最愛的課外活動」進行調查，用條形圖呈現數據（閱讀 20 人、運動 15 人、繪畫 10 人）並分析數據特徵，或解釋「擲硬幣出現正面」的概率（1/2）與實際擲幣結果的關係。

數學思維與邏輯

1. 邏輯推理規則：熟悉歸納推理、演繹推理的基本邏輯，能通過規律分析解決問題。例如，根據「1,3,5,7...」的數列規律（每次加 2）推導第 10 項數值（19），或通過「如果明天降雨，運動會延期；明天降雨了」的前提，得出「運動會延期」的結論。

2. 問題拆解方法：掌握將複雜問題拆分為簡單步驟的思維方式，如解決「校園圖書角整理」問題時，拆解為「圖書分類（按科目 / 年級）→編號登記→擺放上架」三步，或分析「籌備班級聯歡會預算」時，拆分為「場地佈置費、零食採購費、節目道具費」等子項目計算。

3. 抽象思維應用：理解數學符號、公式的抽象意義，能將現實問題轉化為數學模型。如用「總價 = 單價 × 數量」的抽象公式解決「購買 5 支鉛筆，每支 2 元，共需多少錢」的現實問題，或用字母表示未知數，列方程解決「小明有 20 元，買文具花了 x 元，還剩 8 元，求 x」的問題。

生活中的數學

1. 日常數學應用：瞭解數學在購物、時間管理、空間規劃中的實際應用，能解釋生活中的數學現象。例如，解釋「超市打折促銷」中的價格計算（原價 100 元的玩具打 8 折，實際售價 80 元），或分析「課表安排」中的時間規劃（每節課 40 分鐘，课间休息 10 分钟，上午 4 节课總時長）。

2. 測量與估算：掌握長度、質量、面積、體積的基本測量方法，能進行合理估算。如用尺子測量課本的長寬，計算封面面積，或估算「教室能容納多少張課桌」（先估算教室面積與單張課桌面積，再進行除法計算）。

3. 優化與規劃：理解數學中的優化思想，能設計合理的規劃方案。如規劃「從學校到家的最短路線」（對比 2 條路線的距離與耗時，選擇更優路徑），或設計「家庭週末採購清單」（按「食品、日用品、文具」分類，避免重複購買與遺漏）。

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（二）數學與技術應用

數學工具與實踐

1. 傳統數學工具：瞭解算術本、直尺、圓規、量角器的基本使用方法，能完成簡單的數學實踐任務。例如，用直尺與圓規畫出半徑為 3 厘米的圓，並測量直徑長度；或用量角器測量三角形的內角，驗證「三角形內角和為 180°」的定理。

2. 現代數學技術：掌握計算器、Excel、數學學習 APP 的基礎操作，如用計算器完成「小數乘法（3.25×4.8）」的精確計算，或通過 Excel 對「班級同學月考成績」進行排序、求平均數，生成成績統計表。

3. 數學實踐設計：理解數學原理在實踐中的應用，能設計簡單的數學實踐活動。如設計「校園植物生長觀察」活動（每周測量植物高度，記錄數據並繪製生長折線圖），或規劃「班級文具共享」方案（統計文具數量與借閱次數，用比例分析使用率最高的文具）。

數學數據與建模

1. 數據分析與可視化：使用 Excel、WPS 等工具處理數學數據，並通過圖表直觀呈現。如對「家庭每日用電量」數據進行分類（工作日 vs 週末），繪製柱狀圖展示差異；或對「不同年級學生平均閱讀時間」數據，用折線圖呈現隨年級變化的趨勢。

2. 簡單數學建模：運用數學公式與模型解決現實問題，如用「總工作量 = 工作效率 × 工作時間」模型規劃「打掃教室衛生」任務（6 人打掃，每人每分鐘清理 2 平方米，教室面積 360 平方米，需 30 分鐘完成），或用「長方形周長公式」設計「校園操場跑道」的尺寸（跑道內圈長 200 米，確定長與寬的合理數值）。

3. 數學資源應用：理解數學資料庫（如數學百科網站、線上題庫）與工具的使用，如查閱數學網站瞭解「黃金分割」的應用（如書籍頁面尺寸設計），或用線上圖形計算器模擬「函數 y=2x+1 的圖像」，觀察 x 與 y 的對應關係。

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二、數學研究方法與實踐

（一）數學實驗與數據採集

實驗設計與操作

1. 對照實驗設計：能獨立設計控制變量的數學實驗方案，如探究「影響長方形面積的因素」，設定長、寬為變量，控制其他條件不變，通過改變長或寬的數值，計算面積變化（如寬不變，長從 5 厘米增加到 8 厘米，面積從 20 平方厘米增加到 32 平方厘米）。

2. 數學實踐操作：規範使用數學工具開展實驗，如用天平測量不同物體的質量，記錄數據並比較「1 個蘋果與 2 個橘子的質量關係」；或用骰子進行「擲骰子點數概率」實驗，擲 100 次並記錄每個點數出現的次數，分析實際頻率與理論概率的差異。

3. 實驗誤差分析：識別數學實驗中的誤差來源，如分析「用尺子測量課桌長度」的誤差原因（尺子刻度精度、測量起點與終點的判斷偏差），並提出改進方案（多次測量取平均值，提高精度）。

數據處理與建模

1. 數學圖表繪製：使用 Excel、繪圖工具等繪製實驗數據圖表，如繪製「不同物體自由下落時間與高度」的關係散點圖（高度 1 米下落時間約 0.45 秒，高度 2 米約 0.64 秒），或用餅圖展示「班級同學數學成績等級分佈」（優秀 30%、良好 40%、及格 20%、不及格 10%）。

2. 統計方法應用：運用統計工具分析數學數據，如通過中位數判斷「班級同學身高數據」的集中趨勢（10 名同學身高數據：135,140,142,145,148,150,152,155,158,160，中位數為 149），或用方差分析「兩個小組數學測試成績的波動程度」（波動小表示成績更穩定）。

3. 數學仿真實驗：利用模擬工具實現數學現象的模擬，如用線上概率模擬器模擬「抽卡片遊戲」（5 張卡片，其中 2 張紅色，模擬抽 1000 次，觀察抽到紅色卡片的頻率趨近於 2/5），或用數學遊戲（如數獨、24 點）體驗邏輯推理與數字運算的結合。

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（二）數學規劃與問題解決

數學過程建模

1. 解題流程建模：用流程圖或步驟描述數學解題過程，如繪製「解一元一次方程（2x+5=15）」的流程（步驟 1：兩邊減 5，得 2x=10；步驟 2：兩邊除以 2，得 x=5），或用圖解展示「求梯形面積」的思路（將梯形轉化為平行四邊形，利用平行四邊形面積公式推導）。

2. 生活問題建模：構建生活場景的數學模型，如設計「家庭月度水費計算」模型（基礎水費 10 元，超過 10 噸後每吨 2 元，如用水量 15 噸，總費用 = 10+(15-10)×2=20 元），或用流程圖展示「超市購物找零計算」過程（總購買金額→支付金額→計算差額→找零）。

3. 決策過程建模：通過模型分析數學決策行為，如繪製「選擇購買文具商店」的決策流程（比較價格：商店 A 筆記本 8 元 / 本，商店 B7 元 / 本→比較距離：A 距離 500 米，B 距離 800 米→合理解釋：選擇 A，性價比更高），或用表格對比「兩種交通方式到校時間與費用」，選擇更優方案。

數學問題解決

1. 現實數學問題：運用數學知識解決實際問題，如設計「校園運動會賽程安排」方案，需考慮比賽項目時長（跑步 20 分鐘、跳遠 15 分鐘）、場地分配（操場東側跑步，西側跳遠）、休息間隔（每項比賽間休息 5 分鐘），確保賽程流暢；或提出「班級圖書角圖書分類管理」方法，按「故事書、科普書、工具書」分類，用編號規則（如故事書編 S001，科普書編 K001）提高借閱效率。

2. 數學技術應用：結合數學工具解決生活或學習中的問題，如設計「學生課外時間規劃表」，用時間管理 APP 記錄每日「學習、運動、休閒」時間，通過數據分析調整比例（如學習時間過少，適當減少休閒時間）；或探討「校園節日裝飾佈置」的成本控制，用算術計算「購買彩帶、氣球的總費用」，確保不超過預算（如預算 200 元，彩帶每卷 15 元買 8 卷，氣球每包 10 元買 8 包，總費用 15×8+10×8=200 元）。

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三、數學與可持續發展

（一）綠色數學與環境保護

數學與資源節約

1. 資源統計與計算：理解數學在資源統計中的應用，熟悉數據分析對節約的推動方式。如分析「家庭每月用水量統計」（前 3 個月分別為 12 噸、15 噸、13 噸），計算平均用水量並制定節水目標（下月降至 11 噸）；或計算「校園紙張回收量與節省木材」的關係（每回收 1 噸紙張可節省 17 棵樹，學校每月回收 0.5 噸，每年可節省 102 棵樹）。

2. 綠色數學創新：掌握數學在環保規劃中的應用，如設計「校園綠化面積統計」方案，用幾何知識測量操場周圍綠化帶的面積（長方形綠化帶長 50 米、寬 2 米，面積 100 平方米；三角形綠化帶底 10 米、高 8 米，面積 40 平方米，總面積 140 平方米），或探討「家庭低碳出行次數統計」（每周步行 / 騎車上學 5 次，比乘車減少碳排放，用次數累計鼓勵低碳行為）。

3. 節約型數學應用：瞭解數學原理在節約中的實踐，如利用「電器功率與用電量計算」鼓勵節電（電燈功率 20 瓦，每天使用 5 小時，每月用電量 = 20×5×30÷1000=3 度，提醒及時關燈）；或通過「廢棄物回收價值計算」（廢紙每公斤 1.2 元，塑料瓶每個 0.1 元，每月回收廢紙 5 公斤、塑料瓶 20 個，可獲收益 5×1.2+20×0.1=8 元），推動資源循環利用。

環境保護與數學支持

1. 污染治理的數學參與：理解數學在環境污染治理中的應用，熟悉數據分析與項目規劃的邏輯。如分析「校園水質檢測數據」（pH 值、濁度等指標），用統計圖表展示不同季節水質變化，判斷污染程度；或解釋「城市垃圾分類回收效率計算」（可回收垃圾回收率從 30% 提升到 50%，每月減少填埋垃圾 100 噸），說明數學對治理效果的評價作用。

2. 生態保護的數學工具：掌握數學在生態統計中的基礎知識，如分析「森林樹木數量統計」（隨機選取 100 平方米區域，統計有 25 棵樹，推算 10000 平方米區域有 2500 棵樹），或探討「校園鳥類種類觀察」的數學方法（每周觀察 3 次，記錄鳥類種類與數量，用頻率分析常見鳥類）。

3. 氣候與數學應用：瞭解數學與氣候變化分析的結合，如用折線圖展示「當地每月平均氣溫變化」（1 月 5℃、2 月 8℃...12 月 6℃），分析季節性規律；或計算「不同綠化植物的碳吸收量」（每棵樹每年吸收 10 公斤二氧化碳，校園種植 50 棵，每年可吸收 500 公斤），說明綠化對氣候的改善作用。

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（二）數學科技前沿與未來挑戰

數字數學與新技術

1. 數字數學工具：掌握線上數學平台、數學軟件的基本原理，熟悉其應用場景與操作邏輯。如解釋「線上幾何繪圖工具（如 GeoGebra）」的「動態圖形生成」功能（輸入三角形邊長，自動生成可拖拽調整的圖形，便於觀察邊角關係），或分析「數學解題 APP」的「步驟拆解」原理（如解方程時，逐步提示移項、合併同類項的方法，幫助理解思路）。

2. 數學科技創新：理解人工智能、大數據在數學領域的應用，如探討「AI 數學輔導系統」如何通過「用戶答題數據分析」推薦針對性練習（如學生經常錯誤使用分式運算法則，系統推送更多分式化簡題目），或分析「大數據分析校園數學成績」的作用（如統計年級內易錯題型，幫助教師調整教學重點）。

3. 智能數學應用：瞭解智能設備中的數學原理，如探討「智能體重秤」的「數據轉換」邏輯（通過壓力傳感器獲取重量信號，轉換為數字顯示，精確到 0.1 公斤），或分析「智能溫度計」的「誤差校正」方法（通過內置算法修正環境溫度對測量結果的影響，確保體溫數據準確）。

數學倫理與思維安全

1. 數學倫理基礎：理解數學應用中的誠信、客觀原則，熟悉相關規範與底線。如分析「數學考試」中的誠信要求（不抄襲、不舞弊，真實反映學習成果），或探討「數據統計報告」的客觀性原則（不篡改調查數據，如班級體育鍛煉時間統計需如實記錄，不人為縮減或增加）。

2. 思維安全防護：掌握數學學習中避免思維誤區、防範錯誤方法的知識，如分析「數學解題中的常見思維定式」（如看到 “多” 就用加法，忽視 “比一個數多幾分之幾” 需先算份數的情況），或解釋「驗證答案的重要性」（如解方程後代入原式檢驗，避免計算錯誤導致的結果偏差）。​

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四、挑戰題與創新思維

（一）開放性數學問題

現實數學問題解決

1. 設置真實場景任務，如「如何利用數學知識設計校園綠色節能計劃」，要求參賽者從數據採集（統計教室每日用電量、用水量）、方案規劃（如根據用電高峰調整燈光開啟數量，用算術計算預期節省金額）、效果評估（設定每月節能 10% 的目標，用統計圖表跟蹤達成情況）多維度提出方案，並分析計劃的可行性與實際意義。

2. 創新需求應對，如「設計一款面向學生的校園時間管理小工具」，需綜合運用時間統計（記錄上課、自習、運動的時間分配）、規劃功能（設定每日學習目標，如完成 2 頁數學練習）、提醒機制（用倒計時功能提示作業截止時間），確保工具的易用性與實用性，並分析其幫助學生養成規律作息的潛力。

未來數學科技構想

1. 前瞻性設計任務，如「構思 2050 年的智能校園數學學習系統」，要求結合數字化工具（如虛擬現實課堂，沉浸式體驗立體幾何）、AI 輔導（根據學生思維特點推送個性化解題思路）、數據分析（通過作業完成數據預判知識盲點），描繪系統的運作流程（如學生通過 VR 理解圓柱體展開原理→AI 推送相關練習→系統生成學習報告），並分析其在提升數學學習效率與興趣中的作用。

（二）跨學科數學挑戰

數學與其他領域融合

1. 數學 + 教育：運用數學與教育知識設計創新方案，如「校園數學素養提升計劃」，需綜合考慮課程設計（趣味數學課、數學實踐活動）、評價體系（通過解題思路、實踐成果綜合評分，而非僅看答案正誤）、激勵機制（設立 “數學創意獎”，鼓勵獨特解題方法），實現 “理論 + 實踐 + 創意” 的數學教育模式，並分析計劃對培養學生數學思維的作用。

2. 數學 + 科技：結合數學與科技知識開展創意項目，如「智能校園設備使用統計系統」，利用物聯網設備採集圖書館借書機、體育器材領用機的使用數據，通過統計學方法分析高頻使用設備（如每周借書機使用 120 次，羽毛球拍領用 80 次），並用圖表呈現，為學校設備採購與管理提供參考，確保系統的數據準確性與指導意義。

3. 數學 + 環保：運用數學與環保理念開展創意項目，如「校園廢棄物回收統計與轉化計劃」，學生記錄每日回收的廢紙、塑料瓶數量，用數學計算「回收量與節省資源的關係」（如回收 100 個塑料瓶可製作 2 個書包），同時將回收數據轉化為「綠色積分」（10 個塑料瓶換 1 分，積分可兌換學習用品），實現「數據統計→資源轉化→激勵環保」的閉環，並分析計劃對推動校園環保與數學應用的雙重價值。

 

參賽者需兼具扎實的數學基礎知識、科學的探究方法與跨學科創新思維，在解決現實問題時需把握「數學邊界」：如數學實踐需符合兒童及青少年認知規律（避免過於複雜的公式推導）、強化理性思維意識（不憑主觀判斷，需用數據支撐結論）、關注社會價值（將數學工具用於環保、教育等公益領域）。​